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108. Comme les arguments $\lambda$ et $\nu$ croissent très-lentement, à cause de

${\frac {d\lambda }{dt}}={\sqrt {3(e-i)}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\nu }{dt}}=2{\sqrt {ei}},$

$e$ et $i$ étant des quantités très-petites, il est clair que les équations qui dépendent de ces arguments doivent être des espèces d’équations séculaires, qui ne peuvent devenir sensibles qu’au bout d’un temps fort long.

Il n’en est pas de même de l’équation qui dépend de l’argument $\mu ,$ lequel, à cause de

${\frac {d\mu }{dt}}=1+{\frac {3e}{2}},$

augmente à peu près comme la longitude moyenne de la Lune ; de sorte que cette équation doit disparaître et se renouveler à chaque période de la Lune.

Voyons donc si ces équations peuvent avoir un effet sensible dans le mouvement de la Lune, et examinons principalement celle de la longitude, laquelle est d’autant plus essentielle à considérer qu’elle paraît pouvoir donner l’équation séculaire de Mayer, dont la cause a été vainement cherchée jusqu’à présent.

Cette équation est représentée par le terme $y',$ dont la valeur est $3\Delta \mathrm {L} \sin \lambda ,$ $\mathrm {L} \sin \lambda$ étant celle de l’angle $r$ de la libration réelle de la Lune, abstraction faite des termes qui dépendent des inégalités du mouvement périodique. On peut donc représenter l’équation dont il s’agit par $3\Delta r\,;$ or nous avons déjà vu que la quantité $\Delta ={\frac {\mathrm {A} }{m}}$ est nécessairement $<{\frac {1}{12\,100}}$ (105) ; donc on aura $y'<{\frac {r}{4000}}.$ Si donc la plus grande valeur de $r$ est d’un degré, la plus grande valeur de $y'$ sera au-dessous d’une seconde ; de sorte que, quand on supposerait que l’angle $r$ pût aller jusqu’à $60$ degrés, ce qui serait d’ailleurs contraire aux observations de la libration, l’angle $y'$ ne pourrait pas même monter à une minute, et serait par conséquent toujours insensible.

À l’égard des autres équations on prouvera de même, en employant