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je suppose

(H)

$\left\{{\begin{aligned}x=&{\frac {\mathrm {P} }{\Pi }}\zeta +{\frac {\mathrm {N} }{\lambda }}\xi +{\frac {\mathrm {C} }{\Pi \lambda }}\psi ,\\y=&-{\frac {\mathrm {Q} }{\Pi }}\zeta +{\frac {\mathrm {M} }{\lambda }}\xi +{\frac {\mathrm {B} }{\Pi \lambda }}\psi ,\\z=&{\frac {\mathrm {R} }{\Pi }}\zeta +{\frac {\mathrm {L} }{\lambda }}\xi +{\frac {\mathrm {A} }{\Pi \lambda }}\psi ,\end{aligned}}\right.$

$\zeta ,\xi ,\psi$ étant de nouvelles variables ; j’aurai d’abord, en vertu de l’équation de condition (G),

${\begin{aligned}\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=&\Pi \zeta ,\\\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z=&\lambda \xi .\end{aligned}}$

De sorte que les deux équations de l’orbite (C) et (F) se réduiront à cette forme très-simple

$\zeta =0,\quad g\rho =\lambda \xi +\Pi ^{2}.$

Or

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,;$

et si l’on substitue les expressions précédentes de $x,y,z,$ qu’on ait égard à l’équation de condition, et qu’on observe que

${\begin{aligned}\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} =&\mathrm {(PM+QN)^{2}+(RN-PL)^{2}+(RM+QL)^{2}} \\=&\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}+R^{2}\right)\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)-(PN-QM+RL)^{2}} \\=&\Pi ^{2}\lambda ^{2},\end{aligned}}$

on aura

$\rho ^{2}=\zeta ^{2}+\xi ^{2}+\psi ^{2}\,;$

d’où l’on peut conclure que les quantités $\zeta ,\xi ,\psi$ sont aussi des coordonnées rectangles, qui répondent aux mêmes points que les coordonnées $x,y,z,$ et qui ont la même origine, mais une position différente.

9. L’équation

$\zeta =0$

fait voir que la courbe est toute dans le plan des coordonnées $\xi$ et $\psi \,;$ et l’équation

$g\rho =\lambda \xi +\Pi ^{2},$