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étant prise pour l’unité, les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ seront elles-mêmes très-petites du premier ordre.

Ainsi, puisque nous avons déjà trouvé, relativement aux variations séculaires, $d\Delta =0,$ on aura aussi $d\mathrm {R} =0\,;$ et il ne restera qu’à chercher les valeurs de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {M} ,d\mathrm {N} ,$ d’après les formules des n^os 17, 19.

Or, en négligeant toujours les quantités très-petites des ordres supérieurs au premier, on aura (29)

$\mathrm {B=RN,\quad C=-RM} \,;$

donc, à cause de $g=1,$

$r={\frac {\Pi ^{2}}{1-\mathrm {M} \sin q-\mathrm {N} \cos q}}={\frac {1+\mathrm {M} \sin q+\mathrm {N} \cos q}{\Delta }},$

et

$dr={\frac {\mathrm {M} \cos q-\mathrm {N} \sin q}{\Delta }}dq.$

On aura ensuite (30) cette fraction

${\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}\left(1-\mathrm {M} \sin q-\mathrm {N} \cos q\right)^{2}}}$

à réduire en une série de la forme

$\alpha \left(1+\beta \sin q+\gamma \cos q+\delta \sin 2q+\ldots \right)\,;$

de sorte qu’en n’ayant égard qu’aux premières dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ on aura sur-le-champ

$\beta =2\mathrm {M} ,\quad \gamma =2\mathrm {N} ,\quad \delta =0,\ldots .$

On substituera donc ces valeurs dans les expressions de $(\beta )$ et $(\gamma )\,;$ et comme la valeur de $q$ est, aux quantités très-petites près, égale à $p,$ on y changera simplement $q$ en $p.$

De cette manière, si l’on fait

${\begin{aligned}m=&\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dp}}-{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dp^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {N} }{dp^{3}}}+\ldots ,\\n=&\mathrm {N} +{\frac {d\mathrm {M} }{dp}}-{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dp^{2}}}-{\frac {d^{3}\mathrm {M} }{dp^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$