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$r\zeta$ à la place de $z,$ ce qui la transforme en

${\frac {rd^{2}\zeta +2drd\zeta +\zeta d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {gr\zeta }{\rho ^{3}}}+\mathrm {Z} =0,$

et, mettant pour ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {gr}{\rho ^{3}}}$ sa valeur ${\frac {rdq^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {d\Omega }{dr}}$ tirée de l’équation de $r$ (53), on aura, après avoir divisé par $r,$ cette équation de $\zeta$

${\frac {d^{2}\zeta +\zeta dq^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2drd\zeta }{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {Z} }{r}}-{\frac {\zeta }{r}}{\frac {d\Omega }{dr}}=0.$

On fera maintenant ici les substitutions de $r(1+\xi )$ et $p+\psi$ à la place de $r$ et $q,$ et ainsi des quantités analogues, comme on en a usé plus haut (53) ; et comme on suppose les orbites non-seulement peu excentriques, mais encore peu inclinées, on regardera les quantités $\xi ,\psi ,\zeta$ et leurs analogues comme très-petites du même ordre, et l’on en négligera toutes les dimensions plus hautes que la première. On aura donc de cette manière la réduite

${\frac {d^{2}\zeta +\zeta dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {Z} }{r}}-{\frac {\zeta }{r}}{\frac {d\Omega }{dr}}=0,$

où, à cause que tous les termes de la valeur de $\mathrm {Z}$ (15) sont déjà multipliés par les quantités très-petites $z,z',\ldots ,$ il suffira de mettre partout, tant dans $\mathrm {Z}$ que dans $\Omega ,$ $p$ à la place de $q,$ et d’y regarder en même temps $r$ comme constante.

Maintenant, puisqu’en faisant abstraction des forces perturbatrices on avait

${\frac {d^{2}\zeta +\zeta dp^{2}}{dt^{2}}}=0,$

ce qui donne

$\zeta =\mathrm {F} \sin(p-\alpha ),$

on supposera, en général, à l’imitation de ce que nous avons fait plus haut,

$\zeta =\mathrm {F} \sin(p-at-\alpha ),$

et de même

${\begin{aligned}\zeta '\ &=\mathrm {F} '\,\sin(p'\,-at-\alpha ),\\\zeta ''&=\mathrm {F} ''\sin(p''-at-\alpha ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$