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Les substitutions faites, on égalera séparément à zéro les coefficients des différents sinus et cosinus ; il en résultera trois systèmes d’équations de cette forme

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&[2,0]\mathrm {A} +[2,1]\mathrm {A} '+\left[a-(2)\right]\mathrm {A} ''+[2,3]\mathrm {A} '''+[2,4]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[2,5]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[3,0]\mathrm {A} +[3,1]\mathrm {A} '+[3,2]\mathrm {A} ''+\left[a-(3)\right]\mathrm {A} '''+[3,4]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[3,5]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[4,0]\mathrm {A} +[4,1]\mathrm {A} '+[4,2]\mathrm {A} ''+[4,3]\mathrm {A} '''+\left[a-(4)\right]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[4,5]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[5,0]\mathrm {A} +[5,1]\mathrm {A} '+[5,2]\mathrm {A} ''+[5,3]\mathrm {A} '''+[5,4]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\left[a-(5)\right]\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0\,;\end{aligned}}\right.$

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&[2,0]\mathrm {B} +[2,1]\mathrm {B} '+\left[b-(2)\right]\mathrm {B} ''+[2,3]\mathrm {B} '''+[2,4]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[2,5]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[3,0]\mathrm {B} +[3,1]\mathrm {B} '+[3,2]\mathrm {B} ''+\left[b-(3)\right]\mathrm {B} '''+[3,4]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[3,5]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[4,0]\mathrm {B} +[4,1]\mathrm {B} '+[4,2]\mathrm {B} ''+[4,3]\mathrm {B} '''+\left[b-(4)\right]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[4,5]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[5,0]\mathrm {B} +[5,1]\mathrm {B} '+[5,2]\mathrm {B} ''+[5,3]\mathrm {B} '''+[5,4]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\left[b-(5)\right]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0\,;\end{aligned}}\right.$

(C)$\left\{{\begin{aligned}&\left[c-(2)\right]\mathrm {C} ''+[2,3]\mathrm {C} '''+[2,4]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[2,5]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[3,2]\mathrm {C} ''+\left[c-(3)\right]\mathrm {C} '''+[3,4]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[3,5]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[4,2]\mathrm {C} ''+[4,3]\mathrm {C} '''+\left[c-(4)\right]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+[4,5]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&[5,2]\mathrm {C} ''+[5,3]\mathrm {C} '''+[5,4]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\left[c-(5)\right]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0.\end{aligned}}\right.$

60. Comme les quantités $\mathrm {A,A',B,B'} ,$ ainsi que $a$ et $b$ sont déjà connues, il est clair que les quatre équations (A) serviront à déterminer les quatre constantes $\mathrm {A'',A''',A^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},A^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} \,;$ que de même les équations (B) détermineront les constantes $\mathrm {B'',B''',B^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},B^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} .$ Commençons par ces déterminations nous aurons d’abord, par les valeurs de $\mathrm {A,A',B,B} '$ du n^o 50,

${\begin{alignedat}{2}&&[2,0]\mathrm {A} +[2,1]\mathrm {A} '=&-0,083215,\qquad &[2,0]\mathrm {B} +[2,1]\mathrm {B} '=&0,230139,\\&&[3,0]\mathrm {A} +[3,1]\mathrm {A} '=&-0,026334,&[3,0]\mathrm {B} +[3,1]\mathrm {B} '=&0,073359,\\&&[4,0]\mathrm {A} +[4,1]\mathrm {A} '=&-0,011340,&[4,0]\mathrm {B} +[4,1]\mathrm {B} '=&0,031663,\\&&[5,0]\mathrm {A} +[5,1]\mathrm {A} '=&-0,002311,&[5,0]\mathrm {B} +[5,1]\mathrm {B} '=&0,006469;\end{alignedat}}$