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${\begin{aligned}\mathrm {M} '\ =&-[3,5]\times \left[c-(2)\right]\times \left[c-(4)\right]+[3,2]\times [2,5]\times \left[c-(4)\right]\\&+[3,4]\times [4,5]\times \left[c-(2)\right]+[2,4]\times [4,2]\times [3,5]\\&-[2,5]\times [3,4]\times [4,2]-[3,2]\times [4,5]\times [2,4],\\\\\mathrm {M} ''=&-[4,5]\times \left[c-(2)\right]\times \left[c-(3)\right]+[2,5]\times [4,2]\times \left[c-(3)\right]\\&+[3,5]\times [4,3]\times \left[c-(2)\right]+[2,3]\times [3,2]\times [4,5]\\&-[2,3]\times [3,5]\times [4,2]-[3,2]\times [4,3]\times [2,5],\\\\\mathrm {N} \ \ =&[c-(2)]\times \left[c-(3)\right]\times \left[c-(4)\right]-[2,3]\times [3,2]\times \left[c-(4)\right]\\&-[2,4]\times [4,2]\times \left[c-(3)\right]-[3,4]\times [4,3]\times \left[c-(2)\right]\\&+[2,3]\times [3,4]\times [4,2]+[3,2]\times [4,3]\times [2,4]\,;\end{aligned}}$

et ces valeurs étant substituées dans la quatrième équation, elle deviendra

$[5,2]\mathrm {M} +[5,3]\mathrm {M} '+[5,4]\mathrm {M} ''+\left[c-(5)\right]\mathrm {N} =0.$

Cette équation dont $c$ est la seule inconnue, en ordonnant les termes et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}A&=[2,3]\times [3,2],\\B&=[2,4]\times [4,2],\\C&=[2,5]\times [5,2],\\D&=[3,4]\times [4,3],\\E&=[3,5]\times [5,3],\\F&=[4,5]\times [5,4],\\G&=[2,3]\times [3,4]\times [4,2]+[3,2]\times [4,3]\times [2,4],\\H&=[2,3]\times [3,5]\times [5,2]+[3,2]\times [5,3]\times [2,5],\\I\ &=[2,3]\times [3,5]\times [5,2]+[4,2]\times [5,4]\times [2,5],\\K&=[3,4]\times [4,5]\times [5,2]+[4,3]\times [5,4]\times [3,5],\\L&=[2,3]\times [3,2]\times [4,5]\times [5,4]+[2,4]\times [4,2]\times [3,5]\times [5,3],\\&+[3,4]\times [4,3]\times [2,5]\times [5,2]-[2,3]\times [3,4]\times [4,5]\times [5,2]\\&-[2,4]\times [4,3]\times [3,5]\times [5,2]-[2,3]\times [3,4]\times [4,5]\times [5,2]\\&-[3,2]\times [4,3]\times [5,4]\times [2,5]-[4,2]\times [3,4]\times [5,3]\times [2,5]\\&-[2,3]\times [4,2]\times [5,4]\times [3,5],\end{aligned}}$