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On formera maintenant cette réduite en $z$ du troisième degré

$z^{3}+2\mathrm {P} z^{2}+\left(\mathrm {P} ^{2}-4\mathrm {R} \right)z-\mathrm {Q} ^{2}=0,$

et désignant ses trois racines par $z',z'',z''',$ on aura sur-le-champ, pour les quatre racines ou valeurs de $y$, ces expressions fort simples

${\begin{array}{rr}{\frac {{\sqrt {z'}}+{\sqrt {z''}}+{\sqrt {z'''}}}{2}},&{\frac {{\sqrt {z'}}-{\sqrt {z''}}-{\sqrt {z'''}}}{2}},\\{\frac {{\sqrt {z''}}-{\sqrt {z'}}-{\sqrt {z'''}}}{2}},&{\frac {{\sqrt {z'''}}-{\sqrt {z'}}-{\sqrt {z''}}}{2}},\end{array}}$

dans lesquelles il faudra avoir soin de prendre les trois radicaux, chacun avec un signe contraire à celui de la valeur du coefficient $\mathrm {Q} .$

Cette manière de déterminer les racines des équations du quatrième degré est plus commode que là manière ordinaire qui n’emploie qu’une seule racine de la réduite, mais qui demande en même temps la résolution d’une équation du second degré. Elle résulte aussi directement de la nature de la réduite, dont les racines expriment les carrés des sommes des racines de la proposée prises deux à deux ; et quant au signe qu’on doit donner aux radicaux, il suffit de remarquer que la somme des produits des quatre racines ci-dessus multipliées trois à trois se trouve exprimée par ${\sqrt {z'}}{\sqrt {z''}}{\sqrt {z'''}},$ quantité qui doit par conséquent être égale à $-\mathrm {Q}$ par la nature des équations. Voyez là-dessus les Mémoires de 1770^[1].

Pour ce qui regarde la résolution de l’équation en $z$ du troisième degré, ce qu’il y a de plus simple, lorsque les racines sont toutes réelles, comme elles le sont dans notre cas, c’est de la ramener à la trisection de l’angle, et d’y employer les Tables trigonométriques. Pour cela, après avoir privé l’équation du second terme, il n’y aura qu’à la comparer à celle-ci

$u^{3}-3r^{2}u-2r^{3}\cos \varphi =0,$

dont les racines sont

$2r\cos {\frac {\varphi }{3}},\quad -2r\cos \left(60^{\circ }+{\frac {\varphi }{3}}\right),\quad -2r\cos \left(60^{\circ }-{\frac {\varphi }{3}}\right).$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 269.