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valeurs des variables $\xi ,\psi ,,\xi ',\psi ',\ldots$ soient très-petites du même ordre, et, dans cette supposition, les termes qui renferment ces mêmes variables sous une forme finie deviendront très-petits de l’ordre des carrés de ces forces, puisque les coefficients $(0,1),[0,1],(1,0),[1,0],\ldots$ sont eux-mêmes très-petits de l’ordre des mêmes forces. Ainsi, comme nous négligeons dans les recherches présentes les carrés des forces perturbetrices, et toutes les quantités du même ordre, les équations en $\xi ,\psi ,$ se réduiront simplement à

${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {(\mathrm {X} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\quad {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {(\mathrm {Y} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$

d’où l’on tire, en remettant $d\,{\overline {p}}$ pour ${\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$

$\xi =\int (\mathrm {X} )d\,{\overline {p}},\quad \psi =\int (\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}.$

Et il en sera de même pour $\xi ',\psi ',\ldots .$

14. Si dans les expressions de $\mathrm {X,Y}$ du n^o 11 on fait d’abord abstraction des excentricités, et que par conséquent on y néglige les termes multipliés par $x,y,x',y',\ldots ,$ elles se réduisent aux quantités $2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{dp}},$ ${\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\,;$ et comme par la substitutions de la valeur de $\Omega$ en série il ne vient aucun terme proportionnel à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ on aura simplement, dans ce cas,

$(\mathrm {X} )=\mathrm {X} \sin {\overline {p}}-\mathrm {Y} \cos {\overline {p}},\quad (\mathrm {Y} )=\mathrm {X} \cos {\overline {p}}+\mathrm {Y} \sin {\overline {p}}.$

L’intégration de $(\mathrm {X} )d\,{\overline {p}}$ et $(\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}$ ne présente aucune difficulté, puisqu’on a (6)

$d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}'=n'd\,{\overline {p}},\quad d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}''=n''d\,{\overline {p}},\ldots \,;$

mais on peut la simplilier beaucoup en remarquant, en général, que si $\mathrm {M} \sin \Pi$ est un terme quelconque de $\mathrm {X} ,$ et $\mathrm {N} \cos \Pi$ le terme correspondant de $\mathrm {Y} ,$ $\Pi$ étant un angle tel que

$d\Pi =\mu d\,{\overline {p}},$