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Pour le rayon vecteur $r$ de l’orbite projetée, on aura d’abord cette série en $q$

${\overline {r}}\left[1+{\overline {x}}\sin q+{\overline {y}}\cos q-\left({\frac {{\overline {x}}^{2}-{\overline {y}}^{2}}{2}}+{\frac {{\overline {s}}^{2}-{\overline {u}}^{2}}{4}}\right)\cos 2q\right.$

$\left.+\left({\overline {x}}{\overline {y}}+{\frac {{\overline {s}}{\overline {u}}}{2}}\right)\sin 2q-{\frac {{\overline {x}}^{2}+{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}+{\overline {u}}^{2}}{4}}\right],$

laquelle par la substitution de la valeur précédente de $q$ en ${\overline {p}}$ donnera

$r={\overline {r}}\left[1+{\overline {x}}\sin {\overline {p}}+{\overline {y}}\cos {\overline {p}}+\left({\frac {{\overline {x}}^{2}-{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}-{\overline {u}}^{2}}{4}}\right)\cos 2{\overline {p}}\right.$

$\left.-\left({\overline {x}}{\overline {y}}+{\frac {{\overline {s}}{\overline {u}}}{2}}\right)\sin 2{\overline {p}}+{\frac {{\overline {x}}^{2}+{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}+{\overline {u}}^{2}}{4}}\right].$

Enfin, pour la tangente de la latitude, on a l’expression

${\frac {z}{r}}={\overline {u}}\sin q-{\overline {s}}\cos q\,;$

de sorte qu’en substituant aussi la valeur de $q$ en ${\overline {p}},$ on aura

$l={\overline {u}}\sin {\overline {p}}-{\overline {s}}\cos {\overline {p}}+({\overline {x}}{\overline {u}}-{\overline {y}}{\overline {s}})\cos 2{\overline {p}}+({\overline {x}}{\overline {s}}-{\overline {y}}{\overline {u}})\sin 2{\overline {p}}+{\overline {x}}{\overline {u}}-{\overline {y}}{\overline {s}}.$

Ainsi l’on trouvera par des différentiations partielles les valeurs des quantités d’où dépendent les corrections cherchées.

21. Si dans ces corrections on néglige d’abord les excentricités et les inclinaisons des orbites, on aura simplement par les formules précédentes

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dq}{d\,{\overline {p}}}}=&1,\qquad &{\frac {dq}{d\,{\overline {x}}}}=&2\cos {\overline {p}},&{\frac {dq}{d\,{\overline {y}}}}=&-2\sin {\overline {p}},\\{\frac {dr}{d\,{\overline {r}}}}=&1,&{\frac {dr}{d\,{\overline {x}}}}=&{\overline {r}}\sin {\overline {p}},&{\frac {dr}{d\,{\overline {y}}}}=&{\overline {r}}\cos {\overline {p}},\\{\frac {dl}{d\,{\overline {s}}}}=&-\cos {\overline {p}},&&{\frac {dl}{d\,{\overline {u}}}}=\sin {\overline {p}},\end{alignedat}}$

et toutes les autres différences partielles seront nulles.