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$\mathrm {T',T''} ,\ldots$ étant les masses des Planètes perturbatrices exprimées en parties de celle du Soleil, $\rho ',q',\rho '',q'',\ldots$ désignant des quantités analogues à $\rho ,q,$ pour les Planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots .$

Comme cette fonction $\Omega$ n’entre dans l’expression de $d\Sigma$ que sous la forme linéaire, et qu’elle est composée d’autant de formules semblables qu’il y a de Planètes perturbatrices, il est clair que la valeur totale de $d\Sigma$ pour plusieurs Planètes perturbatrices sera toujours la somme des valeurs particulières et semblables, dues à chacune de ces Planètes ; de sorte qu’il suffira de n’avoir égard d’abord qu’à l’action d’une seule Planète.

De plus, si l’on représente par $r(1+\alpha )$ et $p+\beta$ les valeurs de $\rho$ et de $q$ données dans le numéro précédent, les quantités $\alpha$ et $\beta$ seront de l’ordre de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et comme dans les substitutions dont il s’agit nous n’avons besoin que d’avoir égard aux secondes dimensions de $\mathrm {M,N} ,$ il est clair que ces substitutions se réduiront à changer d’abord dans $\Omega ,$ $\rho$ en $r,$ $q$ en $p,$ et à y faire croître ensuite $r$ de $r\alpha ,$ $p$ de $\beta ,$ en poussant la série jusqu’aux secondes dimensions de $\alpha ,\beta .$

8. On fera donc simplement

$\Omega =\mathrm {T} '\left[{\frac {r\cos(p-p')}{r'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}}}}\right],$

les quantités $r,r'$ étant les demi-axes ou les distances moyennes, et $p,p'$ les angles du mouvement moyen ; et l’on aura, pour la fonction $\Omega$ dont il s’agit, cette transformée

${\begin{aligned}\Omega &+r{\frac {d\Omega }{dr}}\alpha +r'{\frac {d\Omega }{dr'}}\alpha '+{\frac {d\Omega }{dp}}\beta +{\frac {d\Omega }{dp'}}\beta '\\&+{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\alpha ^{2}+{\frac {r'^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr'^{2}}}\alpha '^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\beta ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dp'^{2}}}\beta '^{2}\\&+rr'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\alpha \alpha '+r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\alpha \beta +r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\alpha \beta '\\&+r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\alpha '\beta +r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp'}}\alpha '\beta '+{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\beta \beta '.\end{aligned}}$