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série comme dans le Mémoire précédent par

$[r,r']+[r,r']_{1}\cos(p-p')+[r,r']_{2}\cos 2(p-p')+\ldots ,$

la fonction $\Omega$ deviendra

$-\mathrm {T} '\left[[r,r']+\left([r,r']_{1}-{\frac {r}{r'^{2}}}\right)\cos(p-p')+[r,r']_{2}\cos 2(p-p')+\ldots \right].$

Ainsi il faudra encore faire ces substitutions dans la valeur précédente de ${\frac {d\Sigma }{dp}}\,;$ mais comme nous ne cherchons que les termes exempts de sinus et cosinus, nous observerons que les différences de $\Omega$, qui se trouvent dans la valeur dont il s’agit, ne peuvent donner de ces sortes de termes qu’autant que leurs multiplicateurs contiendront des termes de la forme de ceux qui entrent dans les expressions de ces différences.

Par cette considération on pourra donc, en substituant les valeurs de $\alpha ,$ $\beta ,\alpha ',\beta ',$ réduire d’abord la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ à celle-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\left(2+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)+r^{3}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\mathrm {\left(M^{2}+N^{2}\right)} \\&+\left({\frac {3r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}+r^{4}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{3}}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)^{2}\\&+r^{2}r'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\mathrm {\left(M'^{2}+N^{2}\right)} +r^{2}r^{'}2{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')^{2}\\&+\left({\frac {3r^{2}r'}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}+2r^{3}r'{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(3r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}+4r^{3}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp'}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)(\mathrm {M} '\sin p'-\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(4r^{2}r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp}}-rr'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\right)(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(8r^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{drdpdp'}}-2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\right)(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)(\mathrm {M} '\cos p'-\mathrm {N} '\sin p').\end{aligned}}$

Donc enfin, substituant la valeur ci-dessus de $\Omega ,$ développant les pro-