Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/420

l’action de Jupiter, les autres Planètes étant et trop petites et trop éloignées pour pouvoir produire dans Saturne des dérangements sensibles ; et si cette action se trouve insuffisante pour expliquer tous ceux que les Astronomes y ont observés, il faudra avoir recours à d’autres causes pour en rendre raison. Mais, comme les preuves que l’on a déjà de la gravitation universelle ne permettent pas de douter de l’action réciproque de Jupiter et de Saturne, il est important de déterminer à priori les irrégularités dues à cette action, pour pouvoir en dépouiller les résultats des observations, et séparer d’abord les effets de cette cause générale et constante de ceux des autres causes particulières et accidentelles. Je vais donner dans cette Section les inégalités de la longitude de Saturne, dépendantes uniquement de sa distance ou commutation avec Jupiter.

1. Soit $p$ l’angle du mouvement moyen de Saturne, et $r$ sa distance moyenne au Soleil due au mouvement moyen $p$ dans une orbite invariable soit de même $p'$ l’angle du mouvement moyen de Jupiter décrit en même temps que l’angle $p$ du mouvement de Saturne, et $r'$ la distance moyenne de Jupiter au Soleil due à ce mouvement moyen ; enfin soit $\mathrm {T} '$ la masse de Jupiter en parties de celle du Soleil.

En appliquant à ces Planètes les résultats donnés dans la première Partie de la Théorie des variations périodiques (21), on aura pour les inégalités de la longitude de Saturne produites par l’action de Jupiter et indépendantes des excentricités et des inclinaisons, la formule suivante

${\begin{aligned}&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{n\left(1-n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}r[r,r']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{2n\left(1-4n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}\left(1-4n^{2}\right)}}r[r,r']_{2}\right]\sin 2(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{3n\left(1-9n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}\left(1-9n^{2}\right)}}r[r,r']_{3}\right]\sin 3(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{4n\left(1-16n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}\left(1-16n^{2}\right)}}r[r,r']_{4}\right]\sin 4(p-p')\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$