En général, si l’on fait
et que ne contienne que des sinus et cosinus, l’arc de cercle disparaîtra toujours, quelle que soit la fonction et l’introduction de cette indéterminée pourra quelquefois faciliter l’intégration des équations en
17. Il est visible au reste que cette méthode s’applique, en général, à autant d’équations intégrales qu’on voudra ; chacune de ces équations telle que donnera, après la substitution de à la place de dans les fonctions algébriques, les équations de condition en continuant les différentiations de jusqu’à ce que les plus hautes différences des autres variables y soient d’un ordre immédiatement inférieur à celui dont elles sont dans les équations différentielles. Le nombre de ces équations sera ainsi égal à celui de toutes les constantes arbitraires, et la quantité demeurera toujours indéterminée.
Enfin, si les équations différentielles contenaient aussi sous la forme algébrique, on prouverait également par les principes exposés dans le no 11 qu’il n’y aurait qu’à substituer au lieu de dans les fonctions algébriques de ces équations, en regardant une des intégrales comme due à une équation différentielle d’un ordre plus élevé d’une unité que n’est celle qui répond directement à cette intégrale, et faire varier ensuite la constante en même temps que les autres constantes arbitraires introduites par les intégrations.
18. Nous avons supposé jusqu’ici que les fonctions transcendantes de dans les intégrales sont telles que leurs différentielles ne contiennent jamais cette variable sous la forme algébrique ; c’est ce qui a toujours lieu lorsque ces fonctions ne renferment que des sinus, des cosinus et des exponentielles d’arcs proportionnels à Mais, si la variable se trouvait sous ces mêmes signes élevée à d’autres puissances que la première, ou si des logarithmes de cette variable entraient aussi dans les
