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savoir, en développant les termes

$m^{2}p^{2}+m'^{2}p'^{2}+m''p''^{2}+\ldots =$

$-2mm'pp'-2mm''2pp''2-2m'm''p'p''-\ldots \,;$

qu’on ajoute de part et d’autre les termes

$m(m'+m''+\ldots )p^{2}+m'(m+m''+\ldots )p'^{2}+m''(m+m'+\ldots )p''^{2},$

on aura

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )(mp^{2}+m'p'^{2}+m''p''^{2}+\ldots )\\&\quad =mm'(p-p')^{2}+mm''(p-p'')^{2}+m'm''(p'-p'')^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

On trouvera de même, d’après l’équation

$(mq+m'q'+m''q''+\ldots )^{2}=0,$

celle-ci

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )(mq^{2}+m'q'^{2}+m''q''^{2}+\ldots )\\&\quad =mm'(q-q')+mm''(q-q'')^{2}+m'm''(q'-q'')^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Et pareillement l’équation

$(mr+m'r'+m''r''+\ldots )^{2}=0$

donnera

${\begin{aligned}&(m+m'+m''+\ldots )(mr^{2}+m'r'^{2}+m''r''^{2}+\ldots )\\&\quad =mm'(r-r')+mm''(r-r'')^{2}+m'm''(r'-r'')^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, ajoutant ces trois équations ensemble, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&p^{2}\ +q^{2}\ \ +r^{2}\ \,=a^{2},\\&p'^{2}\,+q'^{2}\ +r'^{2}\,=a'^{2},\\&p''^{2}+q''^{2}+r''^{2}=a''^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&(p\ -p'\ )^{2}+(q\ -q'\,)^{2}+(r\ -r'\ )^{2}=b^{2},\\&(p\ -p'')^{2}+(q\ -q'')^{2}+(r\ \,-r'')^{2}=b'^{2},\\&(p'-p'')^{2}+(q'-q'')^{2}+(r'-r''\,)^{2}=b''^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$