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arbitraires ${\frac {q}{p}},{\frac {r}{p}}$ quelles que soient les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} \,;$ de sorte que ces valeurs, et par conséquent aussi la fonction finie $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ),$ demeureront à volonté. Donc, puisque les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont des fonctions des variables $x,y,z,u,$ représentées par $\mathrm {A,B,C} ,$ on aura l’équation

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B,C} )=0,$

pour la valeur cherchée de $u$ en $x,y,z.$

7. De là résulte cette méthode fort simple d’intégrer toute équation de la forme

$\mathrm {X} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {du}{dz}}=\mathrm {U} ,$

dans laquelle $\mathrm {X,Y,Z,U}$ sont des fonctions quelconques de $u,x,y,z.$

On intégrera par les méthodes ordinaires les trois équations différentielles

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0\,;$

on réduira les trois intégrales à la forme

$\mathrm {A=\alpha ,\quad B=\beta ,\quad C=\gamma } ,$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant les trois constantes arbitraires introduites par les trois intégrations et l’on supposera entre $\mathrm {A,B,C}$ une équation quelconque à volonté qu’on pourra désigner par

$\operatorname {F} (\mathrm {A,B,C} )=0,\quad {\text{ou par}}\quad \mathrm {A=\varphi (B,C)} ,$

les caractéristiques $\operatorname {F} ,\varphi$ dénotant des fonctions arbitraires ; ce sera l’intégrale demandée.

En général, quelle que soit la forme sous laquelle les trois intégrales des équations

$\mathrm {X} du-\mathrm {U} dx=0,\quad \mathrm {Y} du-\mathrm {U} dy=0,\quad \mathrm {Z} du-\mathrm {U} dz=0$

se présenteront, si $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les trois constantes arbitraires, on y supposera $\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ),$ et l’on éliminera ensuite les inconnues $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$