tion XVII du même Livre, l’angle
égal au complément à deux droits de l’angle
et l’on aura ainsi la position de la ligne
qui passera par l’autre foyer
Pour déterminer la longueur
on tirera
perpendiculaire à
et, nommant
le paramètre déjà connu, on fera cette proportion
![{\displaystyle \mathrm {SP+PH:PH=-2SP+2KP:L} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093a25b46e3258fb6868c239b0532db109a91acb)
Ainsi
sera donnée tant de longueur que de position, et la section conique sera par là entièrement déterminée.
4. Telle est la construction donnée par Newton ; on peut la simplifier un peu en considérant que l’angle
est égal à l’angle
puisqu’ils sont l’un et l’autre compléments de l’angle
à deux droits, que par conséquent, si l’on mène la perpendiculaire
à la droite
elle divisera en deux parties égales l’angle
ainsi que la droite
tirée du point
parallèlement à la droite
et terminée à la ligne
d’où il est aisé de conclure que
sera égale à
égale à
égale à
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {{\overline {SG}}^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4{\overline {PN}}^{2}} =&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {KG}}^{2}={\overline {SK}}^{2}+{\overline {PS-PK}}^{2}} \\=&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {PK}}^{2}-2PS\times PK+{\overline {PS}}^{2}=2{\overline {PS}}^{2}-2PS\times PK} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df12e8041cc3fb360cb6b540322cdc8ae8742cd8)
donc
![{\displaystyle \mathrm {PS\times PK={\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e457430c10b7721a637bb69529b5c35b9d1b049)
et
![{\displaystyle \mathrm {PS\times (PS+PK)=2{\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}=2{\overline {SN}}^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fc68b1dfdba69b45245a1c3c1d960f5518adb0)
Substituant donc dans la proportion donnée par Newton pour
sa valeur
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {SP+PH:PH={\frac {4{\overline {SN}}^{2}}{PS}}:L} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52368ce92d4e5927d8bd922257279095de695de8)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {L={\frac {4{\overline {SN}}^{2}\times PH}{(SP+PH)\times SP}}=4{\overline {SN}}^{2}\left({\frac {1}{SP}}-{\frac {1}{SP+PH}}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91962cb537865784b0369a58e89a9572ef09b1e0)