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Donc

$\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y+{\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y^{2}+\ldots \,;$

2^o Soit $\gamma =\beta =\alpha ,$ on aura d’abord

${\begin{aligned}&\mathrm {N} (y-\alpha )\ \,(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots ={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y+{\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} ''+\mathrm {R} ''y+\mathrm {S} ''y^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Faisant dans $\mathrm {Q'',R'',S'',\ldots \gamma =\alpha } ,$ et substituant les valeurs ci-dessus de $\mathrm {Q',R',S'} ,\ldots ,$ on trouve

${\begin{aligned}\mathrm {Q} ''&=\mathrm {D+3E} \alpha +\ldots ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}},\\\mathrm {R} ''&={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}},\\\mathrm {S} ''&={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De sorte qu’on aura

$N(y-\delta )\ldots ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}}y+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}}y^{2}+\ldots \,;$

et ainsi de suite.

Faisons ces substitutions dans les formules trouvées plus haut pour le cas des racines égales, et changeons, comme nous l’avons prescrit, les puissances $y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ldots$ en $y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ldots ,$ on trouvera ces résultats fort simples :

1^o Dans le cas où $\beta =\alpha ,$ la quantité

${\frac {1}{\mathrm {N} }}{\frac {d\left[(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots )f(\alpha )\right]}{d\alpha }}$

pour la valeur des deux termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}\,;$