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il faudrait trouver les valeurs des termes

$\mathrm {T} _{\frac {1}{2}},\ \ \mathrm {T} _{\frac {3}{2}},\ \ \mathrm {T} _{\frac {5}{2}},\ldots ,$

en faisant successivement

$n={\frac {1}{2}},\ \ {\frac {3}{2}},\ \ {\frac {5}{2}},\ldots ,$

et ainsi des autres cas semblables. La méthode de Mouton a l’avantage de réduire tous ces cas au premier, et de rendre par conséquent le procédé des additions successives applicable aux interpolations, comme nous le verrons plus bas.

3. Si l’on voulait que la formule $(\mathrm {B} )$ fût ordonnée suivant les puissances mêmes de $n,$ ce qui en rendrait peut-être l’usage plus commode dans le cas de $n$ fractionnaire, rien ne serait plus aisé que de lui donner cette forme par le moyen de notre Analyse.

On n’a qu’à reprendre l’équation

$\mathrm {T_{1}=D_{0}+D_{1}} ,$

et l’écrire d’abord ainsi

$\mathrm {T_{1}=D_{0}(1+D_{1})} \,;$

ce qui est la même chose, puisque

$\mathrm {D_{0}\times D_{1}=D_{0+1}=D_{1}} ,$

en observant pour les indices les lois des exposants ; on transformera ensuite $1+\mathrm {D} _{1}$ en $e^{\log(1+D_{1})},$ $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique désigné par $\log$ est l’unité ; ce qui donnera

$\mathrm {T} _{1}=\mathrm {D} _{0}\times e^{\log(1+\mathrm {D} _{1})},$

et, élevant les deux membres à l’exposant ou indice $n,$

$\mathrm {T} _{n}=\mathrm {D} _{0}\times e^{n\log(1+\mathrm {D} _{1})}\,;$