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aura pour cela qu’à changer, dans les formules du numéro précédent, $\mathrm {D}$ en $d$ et $m$ en ${\frac {1}{m}}.$ Ainsi l’on aura, en général,

$d_{s}=a\mathrm {D} _{s}+b\mathrm {D} _{s+1}+c\mathrm {D} _{s+2}+e\mathrm {D} _{s+3}+\ldots ,$

en faisant

${\begin{aligned}&a={\frac {1}{m^{s}}},\\&b=s{\frac {1-m}{2m}}a,\\&c={\frac {2s}{2}}{\frac {(1-m)(1-2m)}{2.3m^{2}}}a+{\frac {s-1}{2}}{\frac {1-m}{2m}}b,\\&e={\frac {3s}{3}}{\frac {(1-m)(1-2m)(1-3m)}{2.3.4m^{3}}}a+{\frac {2s-1}{3}}{\frac {(1-m)(1-2m)}{2.3m^{2}}}b+{\frac {s-2}{3}}{\frac {1-m}{2m}}c,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces formules renferment la solution générale du Problème de Mouton. En effet, si l’on a à interpoler la série

$\mathrm {T_{0},\ \ T_{1},\ \ T_{2}} ,\ldots ,$

dont les différences

$\mathrm {D_{0},\ \ D_{1},\ \ D_{2}} ,\ldots$

sont connues, et qu’on veuille partager en $m$ parties chaque intervalle d’un terme à l’autre en y insérant $m-1$ termes intermédiaires qui soient liés entre eux et avec ceux de la série donnée par une même loi, en supposant que

$t_{0},\ \ t_{1},\ \ t_{2},\ \ t_{3},\ldots$

soit la nouvelle série interpolée, il faudra par les conditions du Problème que les termes de cette série, pris de $m$ en $m,$ coïncident avec les termes de la série donnée, en sorte qu’on ait

$t_{0}=\mathrm {T} _{0},\quad t_{m}=\mathrm {T} _{1},\quad t_{2m}=\mathrm {T} _{2},\quad t_{3m}=\mathrm {T} _{3},\ldots ,\quad t_{sm}=\mathrm {T} _{s}\,;$

ce qui est l’équation fondamentale d’où nous sommes partis pour la so-