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14. On peut aussi étendre par des opérations semblables les formules des n^os 6 et 7 pour les interpolations aux séries doubles. En eflet, si l’on imagine la nouvelle série

$t_{0,0},\ \ t_{1,0},\ \ t_{2,0},\ldots ,\quad t_{0,1},\ \ t_{0,2},\ \ t_{0,3},\ldots ,\quad t_{1,1},\ \ t_{2,1},\ \ t_{3,1},\ldots ,\quad \ldots ,$

dont les différences soient désignées par

$d_{0,0},\ \ d_{1,0},\ \ d_{2,0},\ldots ,\quad \ldots ,$

et qui soit telle qu’un terme quelconque $t^{ms,nr}$ soit égal à $\mathrm {T} ^{s,r}\,;$ en faisant $s=1$ et $r=0,$ on aura

$t_{m,0}=\mathrm {T} _{1,0},$

et, faisant $s=0,\ r=1,$ on aura

$t_{0,n}=\mathrm {T} _{0,1}$

deux équations qui, étant élevées l’une à l’indice et l’autre à l’indice $r,$ et multipliées ensuite l’une par l’autre, redonnent l’équation générale. Or ces deux équations, en y substituant $\mathrm {D} _{0,0}+\mathrm {D} _{1,0}$ à la place de $\mathrm {T} _{1,0},$ $\mathrm {D} _{0,0}+\mathrm {D} _{0,1}$ à la place de $\mathrm {T} _{0,1},$ et de même $d_{0,0}+d_{1,0}$ à la place de $t_{1,0},$ $d_{0,0}+d_{0,1}$ à la place de $t_{0,1},$ par conséquent $(d_{0,0}+d_{1,0})_{m}$ à la place de $t_{m,0},$ $(d_{0,0}+d_{0,1})_{n}$ à la place de $t_{0,n},$ deviennent

$\mathrm {D} _{0,0}+\mathrm {D} _{1,0}=(d_{0,0}+d_{1,0})_{m}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} _{0,0}+\mathrm {D} _{0,1}=(d_{0,0}+d_{0,1})_{n}\,;$

d’où, à cause de

$\mathrm {D} _{0,0}=\mathrm {T} _{0,0}=t_{0,0}=d_{0,0}$

comme il résulte des formules ci-dessus, on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {D} _{1,0}=&(d_{0,0}+d_{1,0})_{m}-d_{0,0},\qquad &\mathrm {D} _{s,0}=&\left[(d_{0,0}+d_{1,0})_{m}-d_{0,0}\right]_{s},\\\mathrm {D} _{0,1}=&(d_{0,0}+d_{0,1})_{n}\ -d_{0,0},&\mathrm {D} _{0,r}=&\left[(d_{0,0}+d_{0,1})_{n}\ -d_{0,0}\right]_{r}\,;\end{alignedat}}$

par conséquent, en multipliant l’une par l’autre,

$\mathrm {D} _{s,r}=\left[(d_{0,0}+d_{1,0})_{m}-d_{0,0}\right]_{s}\times \left[(d_{0,0}+d_{0,1})_{n}-d_{0,0}\right]_{r},$