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tique $\mathrm {D}$ les différences finies et par la caractéristique $d$ les différentielles, on fera

$m={\frac {\mathrm {D} x}{dx}},\quad n={\frac {\mathrm {D} y}{dy}},$

et la formule (H) se transformera en celle-ci

(K)

${\begin{aligned}\mathrm {D} ^{s,r}=&\left({\frac {\mathrm {D} xdz}{dx}}+{\frac {\mathrm {D} x^{2}d^{2}z}{2dx^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} x^{3}d^{3}z}{2.3dx^{3}}}+\ldots \right)^{s}\\&\qquad \qquad \qquad \times \left({\frac {\mathrm {D} ydz}{dy}}+{\frac {\mathrm {D} y^{2}d^{2}z}{2dy^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} y^{3}d^{3}z}{2.3dy^{3}}}+\ldots \right)^{r},\end{aligned}}$

dont il faudra développer le second membre par les méthodes ordinaires, en regard’ant et traitant les exposants des différentielles de $z$ comme des exposants de puissances. Cette formule donnera la valeur de la différence finie de $z$ de l’ordre $s$ par rapport à $x,$ et de l’ordre $r$ par rapport à $y,$ exprimée par les différentielles de $z$ relativement à $x$ et $y.$

16. Faisant les mêmes substitutions dans la formule (I), et écrivant les indices de l’ordre des différences et des différentielles en forme d’exposants suivant la notation reçue, on aura cette transformée

${\frac {d^{s+r}z}{dx^{s}dy^{r}}}=\left({\frac {\mathrm {D} ^{1,0}z-{\frac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2,0}z+{\frac {1}{3}}\mathrm {D} ^{3,0}z-\ldots }{\mathrm {D} x}}\right)^{s}$

$\times \left({\frac {\mathrm {D} ^{0,1}z-{\frac {1}{2}}\mathrm {D} ^{0,2}z+{\frac {1}{3}}\mathrm {D} ^{0,3}z-\ldots }{\mathrm {D} y}}\right)^{r},$

qu’on développera suivant les méthodes ordinaires, en observant relativement aux exposants des différences les mêmes règles que pour ceux des puissances, et ayant soin de calculer séparément les premiers exposants qui sont relatifs à la variable $x$ et les seconds qui se rapportent à la variable $y.$