Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/102

C’est la valeur de la force $\mathrm {Q} _{1}$ en tant qu’elle vient de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

XXVI.

Enfin on trouvera

${\begin{aligned}{\mathfrak {S}}_{2}&\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\biggr ]}.\end{aligned}}$

C’est la partie de force $\mathrm {P} _{1},$ qui vient de l’action du même satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités ${\mathfrak {S}}_{2},a_{2},\varphi _{2},z_{2}$ en ${\mathfrak {S}}_{3},a_{3},\varphi _{3},z_{3},$ et en ${\mathfrak {S}}_{4},a_{4},\varphi _{4},z_{4}$ successivement, et l’on aura les valeurs de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ dues à l’action des satellites ${\mathfrak {S_{3},S_{4}}}.$

Il ne restera donc plus qu’à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu’elles viennent de l’action du Soleil.

Pour cela nous remarquerons d’abord que le rayon $\rho _{1}$ de l’orbite de Jupiter est considérablement plus grand que le rayon $r$ de l’orbite d’un satellite quelconque ; d’où il suit que la valeur de $\delta ,$ qui est exprimée généralement (Article XV) par

${\sqrt {\rho _{1}^{2}-2\rho _{1}r\cos(\psi -\varphi )+r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$

se réduira en une suite très-convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes ; on aura donc

${\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\rho _{1}^{3}}}+{\frac {3r\cos(\psi -\varphi )}{\delta _{1}^{4}}}+\ldots \,;$