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XXXVI.

La première équation étant intégrée par la méthode de l’Article XXXIV, on trouvera que la valeur de $x_{1}$ renferme premièrement le terme constant $-{\frac {f_{1}\mathrm {L} _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}},$ lequel devant être nul (Article XXXIII), on aura l’équation $\mathrm {L} _{1}=0.$

Ensuite la valeur de $x_{1}$ renfermera deux termes, tels que $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} _{1}t,$ avec des coefficients arbitraires, lesquels pourront se réduire à un seul terme représenté par $\varepsilon \cos(M_{1}t+\omega _{1})\,;$ $\varepsilon _{1},\omega _{1},$ étant pareillement des constantes arbitraires.

De cette manière, si l’on fait

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres, et qu’on suppose de plus

$\beta _{1}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\right){\frac {f_{1}}{4(m-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},$