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Le terme $-{\frac {2n\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représentera l’équation du centre qui vient de la figure elliptique de l’orbite, et les termes suivants exprimeront les inégalités causées par l’action des trois autres satellites et du Soleil.

XL.

Enfin l’équation

${\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}=0$

donnera

$z_{1}=\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}),$

$\lambda _{1}$ et $\eta _{1}$ étant des quantités arbitraires ; car il est visible que cette expression $\mathrm {G} \sin \mathrm {N} _{1}t+\mathrm {H} \cos \mathrm {N} _{1}t,$ laquelle représente généralement la valeur de $z_{1}$ (Article XXXIV), peut se réduire à celle-ci : $\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}).$

XLI.

On aura donc, à cause de $p_{1}=nz_{1}$ (Article IV),

$p_{1}=n\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1})$

$=$tangente de la latitude du satellite par rapport au plan de l’orbite de Jupiter ;

d’où l’on voit que l’orbite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de Jupiter, et dont on connaîtra la position en remarquant : 1^o que $n\lambda _{1},$ étant la plus grande valeur de $p_{1},$ exprimera la tangente de l’inclinaison ; 2^o que $\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1},$ sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l’orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne $\mu _{1}t,$ on aura $(\mu _{1}-\mathrm {N} _{1})t-\eta _{1}$ pour la longitude moyenne du nœud.

Au reste, puisque l’on a ici $\mathrm {N} _{1}=\mu _{1}$ (Article XXXV), le mouvement du nœud sera nul, et sa longitude moyenne sera $-\eta _{1},$ ou plutôt $360^{\circ }-\eta _{1},$ quantité qui dépend des observations ; mais il faut se souvenir que ce résultat n’est exact qu’aux quantités de l’ordre $n$ près.