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Pareillement on trouvera, $s$ étant égal à ${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}},$

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XLVI.

Cela posé, on remarquera :

1^o Que les quantités $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ expriment les vitesses angulaires moyennes des satellites ${\mathfrak {S}}_{1},{\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ autour de Jupiter (Articles IV et IX) ; d’où il suit que ces quantités sont réciproquement proportionnelles aux temps périodiques des mêmes satellites.

Or on a, par les observations, en négligeant les secondes,

Révolutions périodiques.

${\begin{array}{cccc}{\mathfrak {S}}_{1}&{\mathfrak {S}}_{2}&{\mathfrak {S}}_{3}&{\mathfrak {S}}_{4}\\1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}},&3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}},&7^{\text{j}}3^{\text{h}}42^{\text{m}},&16^{\text{j}}16^{\text{h}}31^{\text{m}}.\end{array}}$

Donc, réduisant ces quantités en minutes, on aura

$\mu _{1}={\frac {1}{2547}},\quad \mu _{2}={\frac {1}{5113}},\quad \mu _{3}={\frac {1}{10302}},\quad \mu _{4}={\frac {1}{24032}}.$

2^o Que l’on a généralement (Article XLV)

$f=\mu ^{2},$

c’est-à-dire, à cause de $f={\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}}$ (Article V) et de $\mathrm {F} =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}$ (Article X) $=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }(1+n\chi )=\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a^{3}}}=\mu ^{2}\,;$