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§ II. — Où l’on montre la nécessité d’avoir égard, dans les calculs de l’équation du centre et de la latitude, à quelques termes de l’ordre $n$ des équations
$(\mathrm {H} )$ et $(\mathrm {K} ).$

LXXXVII.

Nous avons trouvé (Article LXXVII)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\,;$

on trouvera de même

$x_{2}=\varepsilon _{2}\cos(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2}),\quad y_{2}=-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\varepsilon _{2}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\,;$

et ainsi des autres. Cela posé, si l’on reprend l’équation $(\mathrm {G} )$ de l’Article LXXVI, et qu’on substitue dans le terme

$n\chi _{2}f_{1}x_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,$

au lieu de $x_{2}$ sa valeur $x_{2}+\theta _{2},$ on verra que la quantité $x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$ renfermera un terme de cette forme

$\cos \left[(\mathrm {M} _{2}-\mu _{2}+\mu _{1})t+\omega _{2}\right]=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]\,;$^[1] ;

lequel étant intégré deviendra

${\frac {\cos \left[\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}\,;$

ainsi le terme

$n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

1. Les formules qui suivent sont, dans le texte primitif, entachées d’erreurs provenant de ce que l’Auteur a employé, par inadvertance, la formule $\mathrm {M} =\mu -{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}},$ au lieu de $\mathrm {M} =\mu \left(1-{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}\right)$ (Article LXXIX) ; nous avons cru devoir faire subir aux formules la rectification nécessaire.
   (Note de l’Éditeur.)