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trouvera pour lors dans les valeurs de $\mathrm {x} _{1}$ et de $\mathrm {y} _{1}$ des termes qui contiendront l’angle $t$ avec son carré $t^{2}\,;$ et ainsi de suite, s’il y avait quatre racines égales.

2^o Soient maintenant $\rho '''$ et $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ imaginaires ; on les mettra d’abord (ce qui est toujours possible comme on sait) sous cette forme

$\rho '''=p+q{\sqrt {-1}},\quad \rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=p-q{\sqrt {-1}},$

$p$ et $q$ étant des quantités réelles ; moyennant quoi les quantités $\mathrm {A'''_{1},B'''_{1}} ,$ $\mathrm {C'''_{1},A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}$ se rarnèneront à la forme suivante

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} '''_{1}=&\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {B} '''_{1}=&\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {C} '''_{1}=&\mathrm {T+V} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {T-V} {\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$

Faisant, ces substitutions dans les équations $(\delta )$ et supposant $\beta _{1}+\gamma _{1}=2b,$ $\beta _{1}=2c{\sqrt {-1}},$ les imaginaires disparaîtront, de sorte qu’on aura pour $\alpha _{1},b,c$ des valeurs réelles ; donc les quantités $\beta _{1},\gamma _{1}$ seront encore de cette forme

$\beta _{1}=b+c{\sqrt {-1}},\quad \gamma _{1}=b-c{\sqrt {-1}}.$

De plus, on verra par l’Article CII que les quantités $\mathrm {D'''_{1},E'''_{1},D_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},E_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,;$ seront aussi de la forme

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {D} '''_{1}=&\mathrm {F+G} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {F-G} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {E} '''_{1}=&f+g{\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&f-g{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$

Donc on aura aussi

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H+L} {\sqrt {-1}},\quad &{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H-L} {\sqrt {-1}},\\{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h+l{\sqrt {-1}},&{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h-l{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$