Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/242

Maintenant on aura

${\frac {r^{2}}{r''^{3}}}={\frac {1}{r}}-q'(p'+p''),$

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)=qp''\,;$

donc, ajoutant ces deux équations, et mettant $q''$ à la place de $q-q',$ on aura

${\frac {r^{2}}{r''^{3}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)={\frac {1}{r}}-p'q'+p''q''\,;$

on trouvera de même

${\begin{aligned}{\frac {r'^{2}}{r''^{3}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)={\frac {1}{r'}}-pq-p''q'',\\{\frac {r''^{2}}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)\left(r'^{2}+r''^{2}-r^{2}\right)={\frac {1}{r''}}-pq+p'q'\,;\end{aligned}}$

donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations $(\mathrm {G} )$ ou $(\mathrm {F} )$ des Articles précédents, elles deviendront celles-ci

(K)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}(r^{2})}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}}-&\mathrm {C} (p'q'-p''q''+\mathrm {Q} \,\ )=&0,\\{\frac {d^{2}(r'^{2})}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}-&\mathrm {B} (p\,q\ -p''q''+\mathrm {Q} '\,)=&0,\\{\frac {d^{2}(r''^{2})}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}-&\mathrm {A} (-pq-p'q'+\mathrm {Q} '')=&0.\end{alignedat}}\right.$

Ainsi l’on pourra, à l’aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons $r,r'$ et $r''$ en $t,$ ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux.

Il est bon de remarquer que, si l’on divise la première de ces équations par $\mathrm {C} ,$ la seconde par $\mathrm {B}$ et la troisième par $\mathrm {A} ,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de $d\mathrm {Q} +d\mathrm {Q} '+d\mathrm {Q} ''=0,$ et par conséquent $\mathrm {Q+Q'+Q''=const} .$) celle-ci

(L)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}(r^{2})}{2\mathrm {C} dt^{2}}}+{\frac {d^{2}(r'^{2})}{2\mathrm {B} dt^{2}}}&+{\frac {d^{2}(r''^{2})}{2\mathrm {A} dt^{2}}}\\&-(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {1}{\mathrm {C} r}}+{\frac {1}{\mathrm {B} r'}}+{\frac {1}{\mathrm {A} r''}}\right)=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

laquelle pourra tenir lieu d’une quelconque des trois équations $(\mathrm {K} ).$