Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/251

Donc, si l’oia fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\Pi \ \,=&r^{2}u^{2}\ \ -\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2},\\\Pi '\,=&r'^{2}u'^{2}\ -\left({\frac {r'dr'}{dt}}\right)^{2},\\\Pi ''=&r''^{2}u''^{2}-\left({\frac {r''dr''}{dt}}\right)^{2},\end{aligned}}$

et

${\begin{alignedat}{3}\Psi \ \,=&pv&-&\left({\frac {dp}{2dt}}\right)^{2}+&\left({\frac {d\rho }{2dt}}\right)^{2},\\\Psi '\,=&p'v'&-&\left({\frac {dp'}{2dt}}\right)^{2}+&\left({\frac {d\rho }{2dt}}\right)^{2},\\\Psi ''=&p''v''&-&\left({\frac {dp''}{2dt}}\right)^{2}+&\left({\frac {d\rho }{2dt}}\right)^{2},\end{alignedat}}$

en sorte que l’on ait

${\begin{alignedat}{6}\lambda ^{2}\ \,+&\mu ^{2}&+&\nu ^{2}&=&\Pi dt^{2},\qquad &\lambda '\lambda ''+&\mu '\mu ''&+&\nu '\nu ''&=&\Psi dt^{2},\\\lambda '^{2}\,+&\mu '^{2}&+&\nu '^{2}&=&\Pi 'dt^{2},&\lambda \,\lambda ''+&\mu \mu ''&+&\nu \nu ''&=&\Psi 'dt^{2},\\\lambda ''^{2}+&\mu ''^{2}&+&\nu ''^{2}&=&\Pi ''dt^{2},&\lambda \ \lambda '\,+&\mu \mu '&+&\nu \nu '&=&\Psi ''dt^{2},\\\end{alignedat}}$

on aura, en carrant les trois équations (0) et les ajoutant ensemble,

(P)

$\mathrm {{\frac {\Pi }{C^{2}}}+{\frac {\Pi '}{B^{2}}}+{\frac {\Pi ''}{A^{2}}}+{\frac {2\Psi }{AB}}+{\frac {2\Psi '}{AC}}+{\frac {2\Psi ''}{BC}}} =a^{2}+b^{2}+c^{2},$

équation qui est aussi, comme l’on voit, d’un ordre moins élevé d’une unité que les équations $(\mathrm {K} )$ ; et comme elle renferme la constante arbitraire $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ qui ne se trouve point dans les équations $(\mathrm {K} ),$ on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations.

XII.

On pourrait croire que l’équation (\mathrm E) que nous avons trouvée dans l’Article II pourrait ainsi, en y substituant les valeurs de $u,u'$ et $u'',$ donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu’il n’en résulterait