Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/275

stantes, en sorte qu’on aura

$d\mathrm {Q} =0,\quad d\mathrm {Q} '=0,\quad d\mathrm {Q} ''=0,$

moyennant quoi les équations $(\mathrm {I} )$ se réduiront à celles-ci

$qd\rho =0,\quad q'd\rho =0,\quad q''d\rho =0,$

lesquelles donneront ou $q=0,$ $q'=0,$ $q''=0,$ ou $dp=0$. Examinons séparément ces deux cas.

XXV.

Soit d’abord

$q=0,\quad q'=0,\quad q''=0\,;$

donc

$r=r'=r''\,;$

de sorte que le triangle formé par les trois Corps sera équilatère ; les équations $(a)$ donneront donc

$\mathrm {CQ=BQ'=AQ''} =-{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}},$

et, ces valeurs étant substituées dans les formules $(\mathrm {J} ),$ on aura

$u^{2}=u'^{2}=u''^{2}={\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}},$

Maintenant on aura

$p=p'=p''={\frac {r^{2}}{2}},\quad v=v'=v''={\frac {u^{2}}{2}}\,;$

donc

$\mathrm {P} ={\frac {3r^{4}}{4}},\quad \mathrm {U} ={\frac {3u^{4}}{4}}\,;$

de plus l’équation $(\mathrm {H} )$ donnera ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}=0,$ par conséquent

${\frac {d\rho }{dt}}=\alpha ,$

$\alpha$ étant une constante arbitraire qui doit satisfaire à l’équation $(\mathrm {N} ).$

Or on trouve

$\Sigma =\Sigma '=\Sigma ''=r^{2}\alpha ^{2}\,;$