Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/299

dont les deux dernières se réduisent à celles-ci

$(h)\quad {\frac {d^{2}\left(\mathrm {R} ^{2}\right)}{2dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {R} }}+i\mathrm {B} \left[{\frac {\mathrm {R} z}{r^{3}}}+\int {\frac {d(\mathrm {R} z)+\sigma dt}{r^{3}}}\right]-{\frac {i^{3}(\mathrm {A+B} )}{\mathrm {R} }}+\ldots =\mathrm {const} .,$

$(i)\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}(\mathrm {R} z)}{dt^{2}}}\\&+{\frac {\mathrm {D} z}{\mathrm {R} ^{2}}}+(\mathrm {A+B} )\left[{\frac {\mathrm {R} z}{r^{3}}}+\int {\frac {d(\mathrm {R} z)+\sigma dt}{r^{3}}}\right]\\&-i\left[{\frac {\mathrm {B} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} \left(3z^{2}-r^{2}\right)}{2\mathrm {R} ^{2}}}+\mathrm {D} \int \left(-{\frac {d\left(r^{2}\right)}{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {3z[d(\mathrm {R} z)-\sigma dt]}{\mathrm {R} ^{4}}}\right)\right]\\&-i^{2}\mathrm {D} \left[{\frac {5z^{3}-3zr^{2}}{\mathrm {R} ^{4}}}+\int \left(-{\frac {3zd\left(r^{2}\right)}{\mathrm {R} ^{4}}}+{\frac {\left(15z^{2}-3r^{2}\right)\left[d(\mathrm {R} z)-\sigma dt\right]}{2\mathrm {R} ^{5}}}\right)\right]-\ldots \\&\qquad =\mathrm {const} .,\end{aligned}}\right.$

Ainsi l’on aura, à la place des équations $(\mathrm {K} )$ de l’Article XXII les trois équations $(g),(h)$ et $(i),$ dans lesquelles on n’a négligé que les quantités très-petites de l’ordre de $i^{3}$ et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de $r,$ $\mathrm {R}$ et $z$ en $t\,;$ moyennant quoi le Problème sera résolu dans toute sa généralité, puisqu’il ne s’agira plus ensuite que de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ (Article XXII). Or, comme la supposition de $i$ très-petit simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s’agit, nous allons donner encore les valeurs de $\sin \psi ,\sin \psi '$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\varphi '}{dt}},$ exprimées en $r,$ $\mathrm {R}$ et $z\,;$ mais nous ne pousserons pas la précision au delà des quantités de l’ordre de $i$.

XXXVI.

Pour cela nous commencerions par chercher les valeurs des vitesses $u,u',u''\,;$ or, si dans les équations $(\mathrm {J} )$ on substitue, à la place des quantités $\mathrm {CQ,BQ',AQ''} ,$ leurs valeurs tirées des équations $(\mathrm {K} ),$ on a, en général,

${\begin{aligned}u^{2}\ \,=&{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}\ +{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}}-\mathrm {C} (p'q'-p''q''),\\u'^{2}\,=&{\frac {d^{2}\left(r'^{2}\right)}{2dt^{2}}}\,+{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}-\mathrm {B} (pq-p''q''),\\u''^{2}=&{\frac {d^{2}\left(r''^{2}\right)}{2dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}-\mathrm {A} (-pq-p'q').\end{aligned}}$