Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/301

on aura

$\Sigma ={\frac {\Gamma }{i^{2}}},\quad \Sigma '={\frac {\Delta }{i^{4}}},\quad \Sigma ''={\frac {\Delta }{i^{4}}}+{\frac {2\Lambda }{i^{3}}}+{\frac {\Gamma }{i^{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans les expressions de $\sin \psi$ et $\sin \psi '$ (Article XXII), et faisant encore

${\begin{aligned}h=&{\frac {k}{i^{2}}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} ,\\\lambda =&\mathrm {R} ^{2}\left(r^{2}-z^{2}\right)\left(\mathrm {M} +i{\frac {\mathrm {BR} z}{r^{3}}}\right)-{\frac {\Delta }{4}},\\\mu =&\mathrm {R} ^{2}\left(r^{2}-z^{2}\right)\mathrm {N} +{\frac {\Lambda }{2}},\end{aligned}}$

on aura, aux quantités de l’ordre $i^{2}$ près,

$(l)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sin \psi \,=&{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {\lambda }}+\mathrm {B} {\sqrt {\lambda -i\mu }}}{k(\mathrm {A+B} )r}},\\\sin \psi '=&{\frac {i\mathrm {B} {\sqrt {\lambda -i\mu }}}{k\mathrm {(A+B)R} }},\end{aligned}}\right.$

ou bien

$(l)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sin \psi \,=&{\frac {\sqrt {\lambda }}{kr}}-{\frac {i\mathrm {B} \mu }{2k(\mathrm {A+B} )r{\sqrt {\lambda }}}},\\\sin \psi '=&{\frac {i\mathrm {B} {\sqrt {\lambda }}}{k\mathrm {(A+B)R} }},\end{aligned}}\right.$

la quantité $k$ étant une constante qu’on déterminera par l’équation $(\mathrm {P} '),$ comme on le verra ci-dessous.

Ainsi l’on connaîtra par ces formules les latitudes $\psi$ et $\psi '$ des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ par rapport à un plan fixe passant par $\mathrm {A} .$

On voit par là qu’on aura à très-peu près

${\frac {\sin \psi '}{\sin \psi }}={\frac {i\mathrm {B} r}{\mathrm {(A+B)R} }}={\frac {\mathrm {B} r}{\mathrm {(A+B)} r'}},$

ce qui donne un rapport bien simple et très-remarquable entre les latitudes des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$