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On a de plus, en négligeant les carrés et les autres puissances de $r$ vis-à-vis de $\rho ,$

${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}={\frac {1}{\rho ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {3\rho r}{\rho ^{5}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}(\Gamma \sin \mathrm {P} +\Delta \cos \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} +\Lambda \cos \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} ).$

On multipliera donc ensemble ces valeurs de $\mathrm {R\delta R}$ et de ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}},$ en ayant attention de rejeter tous les termes qui renfermeraient

$r\sin \mathrm {P} ,\ \ r\cos \mathrm {P\sin Q} ,\ \ r\cos \mathrm {P\cos Q} ,\ \ r^{2}\sin \mathrm {PcosPcosQ} ,\ \ r^{2}\sin \mathrm {P\cos P\sin Q} ,$

par la raison que l’intégrale de ces termes, après avoir été multipliés par $\alpha ,$ est égale à $0$ [Article V, (B) ; Article IX (F)] ; on multipliera ensuite chaque terme du produit par $\alpha ,$ et l’on en prendra l’intégrale, en se souvenant que l’on a [Article IX (G)]

${\begin{alignedat}{2}\int \alpha r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} =&\mathrm {H} ,\qquad &\int \alpha r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \cos 2\mathrm {Q} =&\mathrm {M} ,\\\int \alpha r^{2}\sin ^{2}\mathrm {P} =&\mathrm {K} ,&\int \alpha r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \sin 2\mathrm {Q} =&\mathrm {N} ,\end{alignedat}}$

ce qui donne

$\int \alpha r^{2}\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q={\frac {1}{2}}(H+M)} ,\quad \int \alpha r\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q={\frac {1}{2}}(H-M)} ,$

$\int \alpha r^{2}\mathrm {\cos ^{2}P\sin Q\cos Q={\frac {1}{2}}N} .$

Par ce moyen, on aura

$\int \mathrm {\frac {\alpha \delta R}{R^{2}}} =-{\frac {3\rho ^{2}}{\rho ^{5}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\left[\mathrm {K} \Gamma \delta \Gamma +{\frac {1}{2}}\mathrm {H} (\Delta \delta \Delta +\Lambda \delta \Lambda )\right.$

$+\left.{\frac {1}{2}}\mathrm {M} (\Delta \delta \Delta -\Lambda \delta \Lambda )+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (\Lambda \delta \Delta +\Delta \delta \Lambda )\right].$

Or on trouve, par la différentiation de $\Gamma ,\Delta ,\Lambda$ (Article précédent),

${\begin{aligned}\delta \Gamma =&-\cos(\nu -\varepsilon )\sin \pi \,\delta \varepsilon +\left[\sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\lambda \sin \pi \right]\delta \pi ,\\\delta \Delta =&\left[\cos \omega \sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\sin \omega \cos(\nu -\varepsilon )-\lambda \cos \omega \sin \pi \right]\delta \omega \\&-\left[\sin \omega \cos(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\cos \omega \sin(\nu -\varepsilon )\right]\delta \varepsilon \\&-\left[\sin \omega \sin \,(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \sin \omega \cos \pi \right]\delta \pi \,;\end{aligned}}$