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d’où l’on tire de même

\mathrm {Z} =\varphi -{\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[\varphi \cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu \varphi )}{\mu }}\right]} ,

et de là

{\frac {dt}{d\varphi }}=n\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right].

Or l’équation VII donne

{\frac {dt}{d\varphi }}={\frac {1}{ku^{2}}}\left(1-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{2}u^{3}}}\right)\,;

donc on aura dans le premier cas

nu^{2}(1-2i\varphi )={\frac {1}{k}}-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{3}u^{3}}},

et, différentiant, on trouvera

{\frac {\Pi }{k^{3}u^{3}}}=-{\frac {2nudu}{d\varphi }}(1-2i\varphi )+2inu^{2}\,;

or, comme ${\frac {1}{u}},$ rayon vecteur de l’orbite de la Lune, est une quantité à très-peu près constante, il s’ensuit que la valeur de ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ contiendra nécessairement un terme tout constant, qui sera exprimé par $2ink^{3}\gamma ^{2},$ $\gamma ^{2}$ étant le terme tout constant de la valeur de $u^{2}.$

Dans l’autre cas, on aura l’équation

nu^{2}\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right]={\frac {1}{k}}-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{3}u^{3}}},

d’où l’on tire

{\frac {\Pi }{k^{3}u^{3}}}=-{\frac {2nudu}{d\varphi }}\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right]+2inu^{2}\mathrm {\frac {\sin(A+\mu \varphi )}{\sin A}} \,;