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très-peu près connus par les observations, on verra aisément qu’il n’y a que cette combinaison $z-\xi -\eta$ et ses multiples qui puissent former des angles presque constants ; en effet, il est clair que $z-\xi$ sera égal à la longitude de la Lune moins celle du Soleil, plus la longitude de l’apogée du Soleil, c’est-à-dire, égal à la distance de la Lune au Soleil plus la longitude de l’apogée du Soleil ; par conséquent, nommant $\alpha$ la longitude de l’apogée du Soleil, on aura

$z-\xi =\eta +\alpha \,;$

donc

$z-\xi -\eta =\alpha .$

Or on sait que $\alpha$ est une quantité presque constante, qui ne varie que de $1^{\circ }50'$ par siècle, suivant les Tables de Mayer, de sorte que l’angle $z-\xi -\eta$ et ses multiples seront dans le cas dont il s’agit ; ainsi, dans la recherche de l’équation séculaire de la Lune, il suffira de tenir compte des termes qui renfermeront les trois angles $z,\xi ,\eta \,;$ d’où je conclus d’abord que, dans les expressions des forces perturbatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre, on pourra rejeter les termes qui contiendront les sinus ou cosinus de l’angle $\psi \,;$ ce qui servira beaucoup à simplifier ces expressions.

24. De cette manière on aura donc, d’après les formules du n^o 19,

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{2}=&{\frac {\sin ^{2}\omega (1-\cos 2z)}{2}},\\\mathrm {Q} ^{2}=&\mathrm {R} ^{2}={\frac {2-\sin ^{2}\omega (1-\cos 2z)}{4}},\\\mathrm {P} ^{3}=&{\frac {\sin ^{3}\omega (3\sin z-\sin 3z)}{4}},\\\mathrm {PQ} ^{2}=&\mathrm {PR} ^{2}={\frac {\left(4-3\sin ^{2}\omega \right)\sin \omega \sin z+\sin ^{3}\omega \sin 3z}{8}},\end{aligned}}$

et toutes les autres quantités $\mathrm {Q^{3},QP^{2}} ,\ldots$ seront nulles.