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25. Il faut maintenant reprendre les expressions des forces perturbatrices résultant de l’action du Soleil (n^o 11) et y substituer à la place de $\sigma$ sa valeur ${\frac {\lambda }{1+\varepsilon \cos \xi }}\,;$ mais il ne sera pas nécessaire de faire cette substitution en entier ; car, par ce que nous venons de remarquer dans le numéro précédent, il est visible qu’il suffira d’avoir égard aux termes qui contiendront des sinus ou des cosinus de l’angle $\xi +\eta$ ou de ses multiples. Or la valeur précédente de $\sigma$ donne celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sigma ^{3}}}=&{\frac {1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{2}}}{\lambda ^{3}}}+{\frac {3\varepsilon +{\cfrac {3\varepsilon ^{3}}{4}}}{\lambda ^{3}}}\cos \xi +{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2\lambda ^{3}}}\cos 2\xi +{\frac {\varepsilon ^{3}}{4\lambda ^{3}}}\cos 3\xi ,\\{\frac {1}{\sigma ^{4}}}=&{\frac {1+3\varepsilon ^{2}+{\cfrac {3\varepsilon ^{4}}{8}}}{\lambda ^{4}}}+{\frac {4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}}{\lambda ^{4}}}\cos \xi +{\frac {3\varepsilon ^{2}+{\cfrac {\varepsilon ^{4}}{2}}}{\lambda ^{4}}}\cos 2\xi +{\frac {\varepsilon ^{3}}{\lambda ^{4}}}\cos 3\xi +{\frac {\varepsilon ^{4}}{8\lambda ^{4}}}\cos 4\xi \,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs et rejetant tous les termes qui contiendraient d’autres angles que $\xi +\eta ,$ on aura, par l’action du Soleil

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

${\begin{aligned}-{\frac {\mathrm {S} }{2\lambda ^{3}}}&\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\cos 2(\xi +\eta )\right)x,\\-{\frac {\mathrm {S} }{4\lambda ^{4}}}&\left({\frac {9}{4}}\left(4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}\right)\cos(\xi +\eta )+{\frac {15\varepsilon ^{3}}{2}}\cos 3(\xi +\eta )\right)x^{2}\,;\end{aligned}}$

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

${\begin{aligned}-{\frac {3\mathrm {S} }{2\lambda ^{3}}}&\left({\frac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\sin 2(\xi +\eta )\right)x,\\-{\frac {\mathrm {S} }{8\lambda ^{4}}}&\left({\frac {3}{2}}\left(4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}\right)\sin(\xi +\eta )+{\frac {15\varepsilon ^{3}}{2}}\sin 3(\xi +\eta )\right)x^{2}.\end{aligned}}$

Joignant donc ces forces à celles du numéro précédent, on aura les valeurs des quantités $\Phi$ et $\Pi ,$ lesquelles, en mettant pour plus de simplicité ${\frac {1}{\nu ^{2}}}$ à la place de ${\frac {\mathrm {S} }{\lambda ^{3}}},$ se trouveront exprimées de la manière sui-