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12. On peut aussi donner une forme semblable aux équations primitives du n^o 7. En effet, si l’on fait

${\frac {1}{\sigma }}={\frac {1}{\rho }}-\left({\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }}x+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }}y+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}z\right),$

et que l’on fasse abstraction des termes affectés de $\mu ',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.\end{aligned}}$

13. On voit que la quantité ${\frac {1}{\sigma }}$ contient les deux premiers termes de la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $x,y,z\,;$ comme la quantité ${\frac {1}{\mathrm {S} }}$ contient les deux premiers termes de la même quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ en négligeant (ce qui est permis ici) la différence infiniment petite entre ${\frac {1+m}{1+\mu }}$ et l’unité : d’où résultent naturellement les conclusions que nous avons trouvées plus haut (n^os 10, 11).

Il s’ensuit aussi de là que, tant que $r<\rho ,$ il est plus simple de se servir des formules du n^o 12, et qu’au contraire, lorsque $r>\rho ,$ il est plus avantageux d’employer celles du n^o 11 ; d’autant plus que dans celles-ci les termes affectés de $\mu ,$ et qui sont l’effet des forces perturbatrices, deviennent presque nuls lorsque la comète est à une grande distance du Soleil.

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