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Dans la parabole, le grand axe $a$ devient infini, par conséquent l’angle $u$ est infiniment petit. Dans les ellipses très-allongées, telles que sont les orbites des comètes, la quantité $a$ est seulement très-grande ; donc l’angle $u$ sera très-petit, du moins tant que $r$ n’est pas fort grand.

Dans ce cas donc on aura

$u=\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots ,$

et l’équation entre $\theta$ et $u$ deviendra

$\theta =(1-e)\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots \,;$

mais

$1-e={\frac {1-e^{2}}{1+e}}={\frac {4h}{a(1+e)}}\,;$

donc, si l’on met pour $\theta$ sa valeur

$2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

et qu’on fasse

$i{\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}}=j,\quad \sin u={\frac {w}{\sqrt {\cfrac {a}{2}}}},$

on aura, après avoir tout multiplié par ${\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}},$

$t{\sqrt {1+m}}+j={\frac {2h}{1+e}}w+{\frac {1}{6}}w^{3}+{\frac {3}{20a}}w^{5}+{\frac {5}{28a^{2}}}w^{7}+\ldots ,$

où $w$ sera une quantité finie, puisqu’on aura

$w={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {1-{\cfrac {4h}{a}}}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{e}},$

et, substituant pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ sa valeur en $\varphi$ trouvée ci-dessus, il