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complète de l’intégrale de la différentielle dont il s’agit sera représentée par

${\frac {\mathrm {K+L} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{\sqrt {R_{0}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {\pm R''_{1}}}}}\mathrm {P} ,$

en faisant

$\mathrm {P} =\log {\frac {{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}+{\sqrt {R_{2}R''_{1}}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}-{\sqrt {R_{2}R''_{1}}}}}-\log {\frac {{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}+{\sqrt {R_{0}R''_{1}}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}-{\sqrt {R_{0}R''_{1}}}}},$

si $R''_{1}$ est positif, ou bien

$\mathrm {P} =\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {-R_{2}R''_{1}}}{{\frac {1}{2}}R_{1}+R''_{1}}}-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {-R_{0}R''_{1}}}{{\frac {1}{2}}R_{1}+R''_{1}}},$

si $R''_{1}$ est négatif.

Donc enfin on aura, aux quantités près des ordres de $\mu \beta ^{3}$ et $\mu \gamma ^{3},$

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left(2V'_{1}+{\frac {2}{3}}V''_{1}+{\frac {\mathrm {K+L} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{\sqrt {R_{0}}}}+{\frac {\mathrm {MP} }{2{\sqrt {\pm R''_{1}}}}}\right).$

47. Il n’y a que deux cas où la formule précédente ne puisse pas servir : l’un est celui de $R''_{1}=0,$ et l’autre celui de $R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}=0.$

Soit : 1^o $R''_{1}=0\,;$ on aura à intégrer cette différentielle

${\frac {\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}}{(R_{1}+R'_{1}n)^{\frac {3}{2}}}}dn,$

et, supposant son intégrale de la forme

${\frac {\mathrm {K} +\mathrm {L} n+\mathrm {M} n^{2}}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n}}},$

on trouvera par la différentiation et par la comparaison des termes

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&-{\frac {2\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}+{\frac {4\mathrm {U} '_{1}R_{1}}{R_{1}^{'2}}}-{\frac {16\mathrm {U} ''_{1}R_{1}^{2}}{3R_{1}^{'3}}},\\\mathrm {L} =&{\frac {2\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}-{\frac {8\mathrm {U} ''_{1}R_{1}}{3R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {2\mathrm {U} ''_{1}}{3R'_{1}}}.\end{aligned}}$

Complétant donc cette intégrale de la manière que nous l’avons dit,