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des n^os 39 et suivants, laquelle abrège et simplifie considérablement le calcul des perturbations dans cette partie.

Pour faire usage de cette méthode, il ne s’agit que de substituer dans les équations du n^o  37, à la place des valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ qu’on a employées dans le n^o  42, celles de $\mathrm {X',Y',Z'}$ (n^o  39) ; or nous avons déjà remarqué dans le n^o  13 que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {S} }}$ n’est autre chose que les deux premiers termes de la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ réduite en série ascendante par rapport aux quantités $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ donc, comme (n^o  2)

$\mathrm {R} ^{2}=r^{2}-2(x\xi +y\eta +z\zeta )+\rho ^{2},$

$\rho ^{2}$ étant égal à $\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2},$ on aura, par la formule connue,

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{r}}+{\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{r^{3}}}-{\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}$

$+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots \,;$

donc

${\frac {1}{\mathrm {S} }}={\frac {1}{r}}+{\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{r^{3}}},$

et par conséquent

$\mathrm {{\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}} ={\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots ,$

On différentiera maintenant cette quantité en faisant varier seulement $x,y,z,$ et les coefficients de $dx,dy,dz$ seront les valeurs de $\mathrm {X',Y',Z'} \,;$ donc, en supposant, pour abréger,

$\varpi '=-{\frac {3\rho ^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{7}}}-{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{7}}}+{\frac {35(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{9}}}-\ldots ,$

$\Pi '=-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )}{r^{5}}}+{\frac {3\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{7}}}+\ldots ,$

on trouvera

$\mathrm {X} '=\Pi '\xi +\varpi 'x,\quad \mathrm {Y} '=\Pi '\eta +\varpi 'y,\quad \mathrm {Z} '=\Pi '\zeta +\varpi 'z.$