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tions rationnelles et entières de $\xi ,\eta ,\zeta$ et de $\sin \varphi ,\cos \varphi$ et $r,$ dans lesquelles $r$ ne montera au plus qu’au second degré, à l’exception des quantités $(\mathrm {I} )$ et $(i),$ dont la première contiendra $r^{3},$ et dont la seconde contiendra $r^{4}\,;$

2^o Que les expressions de $\Pi '$ et $\varpi '$ deviendront, à cause de $z=0,$

${\begin{aligned}\Pi '=&{\frac {3(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )}{r^{4}}}+{\frac {3\rho ^{2}-2(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{2}}{r^{5}}}+\ldots ,\\\varpi '=&{\frac {-3\rho ^{2}+15(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{2}}{r^{5}}}\\&+{\frac {-15(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )\rho ^{2}+35(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{3}}{r^{6}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On substituera maintenant ces valeurs de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ dans les expressions des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ du n^o 42, et l’on y mettra, à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ les valeurs précédentes de $\Pi '$ et $\varpi '\,;$ enfin on mettra pour $du$ sa valeur ${\frac {rd\varphi }{\sqrt {ah}}}$ déduite de l’équation (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}\,rdu.$

52. Il est aisé de voir que, par ces différentes substitutions, les valeurs des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ du n^o 42 se trouveront composées de différents termes de la forme

${\frac {\Sigma \cos ^{m}\varphi \sin ^{n}\varphi d\varphi }{r^{p}}},$

$m,n,p$ étant des nombres entiers positifs ou zéro, et $\Sigma$ étant une fonction rationnelle et entière de $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ j’en excepte seulement les termes de la valeur de $d\delta i,$ qui seront multipliés par l’angle $t,$ et que nous examinerons plus bas. Et il n’est pas difficile de prouver que $m+n+p$ ne sera pas $>5$ pour les premiers termes de $\varpi '$ et $\Pi ',$ ni $>7$ pour les termes suivants, et ainsi du reste.

Or (n^o 18)

$r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }},$

à cause de $e=f\,;$ donc, si l’on substitue cette valeur dans la formule