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laquelle sera par conséquent une fonction rationnelle et entière de $\sin \varphi$ et $\cos \varphi ,$ en faisant

$x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi ,\quad z=0,\quad r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }}.$

De là on tire cette conclusion importante, que la valeur $\delta a,$ c’est-à-dire, l’altération du grand axe de l’orbite de la comète, en tant qu’elle vient des perturbations de la partie supérieure de l’orbite, ne contient aucun terme proportionnel à l’angle, et qui puisse par conséquent augmenter continuellement.

À l’égard des autres termes de la valeur de $d\,\delta a,$ il est clair qu’après la substitution des valeurs de $x,y,r$ en $\varphi$ ils deviendront de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\text{ou}}\quad \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

et pourront être traités par la méthode des n^os 52 et suivants.

57. Venons maintenant au terme

$3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}$

de la valeur de $d\,\delta i.$ En y substituant d’abord pour $d\,\delta a$ la quantité $-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}dR$ indépendante de $\upsilon ,$ on aura la différentielle

$-3{\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}tdR,$

dont l’intégrale est

$-3{\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}\left(tR-\int Rdt\right).$

Or on a (n^o  21),

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}\,;$

donc, comme dans l’expression de $R$ les exposants négatifs de $r$ surpassent de trois unités ou davantage la somme des exposants positifs de $x,y,z$ (n^o  54), il est visible qu’en mettant dans $Rr^{2},$ pour $x$ et $y,$ $r\cos \varphi$