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turne environ $9{\tfrac {1}{2}},$ il est clair que, si l’on fait commencer la partie supérieure de l’orbite de la comète aux points de la moyenne-distance, c’est-à-dire, aux extrémités du petit axe, alors $r$ sera toujours beaucoup plus grand que $\rho ,$ et la méthode des n^os 48 et suivants aura toute l’exactitude qu’on peut désirer, en négligeant même tout à fait les termes qui dépendent du mouvement moyen de la planète perturbatrice dans les formules des quantités différentielles $d\,\delta d,d\,\delta a,\ldots ,$ et en ne tenant compte que des termes indépendants de l’angle $\upsilon ,$ que nous avons vus être toujours intégrables (n^os 52 et 56).

Il y aura encore un autre avantage à prendre ainsi la moitié supérieure de l’orbite pour ce que nous appelons la partie, supérieure, car on aura alors, pour le commencement de cette partie, $u=\pm 90,$ et, pour la fin, $u=\pm 270\,;$ de sorte que, à cause de

$x={\frac {a}{2}}(\cos u-e),\ \ y={\sqrt {ah}}\sin u,\ \ r={\frac {a}{2}}(1-e\cos u),\ \ dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu$

($u$ étant l’anomalie excentrique comptée depuis le périhélie), on aura, pour le commencement de la partie supérieure,

$x=-{\frac {ae}{2}},\quad y=\pm {\sqrt {ah}},\quad r={\frac {a}{2}},$

${\frac {dx}{dt}}=\mp {\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}},\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=\pm e{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}}$

et pour la fin

$x=-{\frac {ae}{2}},\quad y=\mp {\sqrt {ah}},\quad r={\frac {a}{2}},$

${\frac {dx}{dt}}=\pm {\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}},\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=\mp e{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}}$

(les signes supérieurs étant pour le cas où l’on prendra les angles $t$ et $u$ positifs, c’est-à-dire, pour la période qui suit le périhélie de 1661, et les signes inférieurs étant pour le cas où $t$ et $u$ seront négatifs, c’est-à-dire, pour la période qui précède ce périhélie), ce qui simplifiera beaucoup