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produits de $\sin \varphi$ et de $\cos \varphi$ en sinus et cosinus d’angles multiples de $\varphi ,$ on aura pour $x$ cette série assez simple

$x=m\sin \varphi -{\frac {m^{2}\sin 2\varphi }{2}}+{\frac {m^{3}\sin 3\varphi }{3}}-{\frac {m^{4}\sin 4\varphi }{4}}+\ldots .$

Si l’on imaginait un second épicycle dont le rayon fût $na,$ et dont le centre décrivît la circonférence du premier épicycle, tandis que le mobile décrit la circonférence de ce second épicycle, en parcourant autour de son centre des angles $\psi$ dans le même temps que sont parcourus les angles $t$ et $\varphi ,$ on trouverait que l’angle parcouru par le mobile autour du cercle principal serait $t+x,$ où l’angle $x,$ qui représente l’inégalité du mouvement, sera tel que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi +n\sin(\varphi +\psi )}{1+m\cos \varphi +n\cos(\varphi +\psi )}},$

d’où, en supposant $m$ et $n$ fort petits, il est facile de tirer la valeur de $x$ exprimée par une suite de sinus.

S’il y avait un troisième épicycle dont le rayon fût $pa,$ et sur la circonférence duquel le mobile fût mû en parcourant autour de son centre des angles $\xi ,$ on trouverait que l’inégalité $x$ serait déterminée par l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi +n\sin(\varphi +\psi )+p\sin(\varphi +\psi +\xi )}{1+m\cos \varphi +n\cos(\varphi +\psi )+p\cos(\varphi +\psi +\xi )}},$

et ainsi de suite.

Si l’on suppose un cercle excentrique dont le rayon soit $a$ et l’excentricité $ma,$ on trouvera que, tandis que le mobile parcourt autour du centre du cercle l’angle $t,$ il parcourra autour du point qui est pris pour le centre du mouvement apparent un angle $t+x,$ en sorte que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin t}{1+m\cos t}}\,;$

d’où l’on voit que c’est la même chose que si le cercle était supposé homocentrique, et qu’il portât un épicycle dont le rayon fût $ma,$ et dont