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et ainsi de suite ; donc on aura

${\begin{aligned}&(1-px)(1-qx)=1-2x\cos \alpha +x^{2},\\&(1-rx)(1-sx)=1-2x\cos \beta +x^{2},\\&(1-tx)(1-ux)=1-2x\cos \gamma +x^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Par conséquent le dénominateur

$1+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}$

sera le produit de ces ${\frac {n}{2}}$ facteurs doubles

${\begin{aligned}&1-2x\cos \alpha +x^{2},\\&1-2x\cos \beta \,+x^{2},\\&1-2x\cos \gamma \ +x^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il est facile de conclure qu’on aura nécessairement

$(n)=1,\quad (n-1)=(1),\quad (n-2)=(2),\ldots ,$

c’est-à-dire, que les coefficients des termes extrêmes, ainsi que ceux des termes équidistants des extrêmes, seront les mêmes ce qui est la propriété des polynômes qu’on appelle réciproques.

Or, pour trouver facilement les valeurs des coefficients

$(1),\ \ (2),\ \ (3),\ldots \left({\frac {n}{2}}\right)\quad {\text{en}}\quad \cos \alpha ,\ \ \cos \beta ,\ \ \cos \gamma ,\ldots ,$

on mettra le polynôme en question sous la forme suivante, en faisant, pour plus de simplicité, $n=2\nu ,$

$\left(1+x^{2\nu }\right)+(1)x\left(1+x^{2\nu -2}\right)+(2)x^{2}\left(1+x^{2\nu -4}\right)+\ldots +(\nu )x^{\nu }\,;$

ensuite on supposera

$1+x^{2}=xz,$