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par laquelle il faudra maintenant diviser la série $s\,;$ la division faite, on aura le quotient $1-x$ et le reste $7x^{2}-7x^{3}+21x^{4}+\ldots ,$ lequel, étant divisé par $x^{2},$ donnera la série

$s''=7-7x+21x^{2}-21x^{3}+49x^{4}-49x^{5}+105x^{6}-105x^{7}$

$+217x^{8}-217x^{9}+\ldots \,;$

on continuera donc l’opération en divisant l’avant-dernière série par $s'',$ et l’on trouvera le quotient ${\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}}\,;$ comme ensuite il ne reste rien, ce sera une marque que l’opération est terminée, et que la suite proposée est effectivement récurrente du troisième ordre.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, on considérera les trois quotients qu’on vient de trouver, et on les rangera ainsi par ordre, en commençant du dernier,

${\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}},\quad 1-x,\quad 1-2x\,;$

ensuite on en formera les quantités $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots$ de cette manière

${\begin{aligned}\xi \ \ \,=&1,\\\xi '\ \ =&{\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}},\\\xi ''\ =&(1-x)\xi '+x^{2}\xi ={\frac {1+3x+3x^{2}}{7}},\\\xi '''=&(1-2x)\xi ''+x^{2}\xi '={\frac {1+x-2x^{2}-2x^{3}}{7}},\end{aligned}}$

et la fraction génératrice de la série $s$ sera ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ savoir

${\frac {1+3x+3x^{2}}{1+x-2x^{2}-2x^{3}}}\,;$

d’où l’on voit d’abord que l’échelle de relation est

$-1,\quad +2,\quad +2,$