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par $1+x^{2},$ on aura celle-ci

${\frac {1+x+x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1-2x+x^{2}\right)}}$

pour la fraction génératrice de la série primitive

$1+3x+5x^{2}+\ldots ,$

et il est clair par là que si l’on avait voulu opérer immédiatement par cette même série, suivant la méthode de la Proposition II, il aurait fallu procéder jusqu’à la quatrième division avant que l’opération fût terminée.

PROPOSITION V.

Problème.

30. Les mêmes choses étant supposées, comme dans la Proposition IV, on demande une méthode plus simple que celle de la Proposition II, pour trouver immédiatement la fraction génératrice de la série proposée.

On voit, par l’analyse du Problème précédent, que la fraction génératrice de la série (E), laquelle a pour dénominateur un polynôme réciproque du degré $2\mu ,$ et pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2\mu -2,$ étant multipliée par $1+x^{2},$ peut se transformer, par la substitution

$y={\frac {x}{1+x^{2}}},$

en une autre fraction qui ait pour dénominateur un polynôme en $y$ du degré $\mu ,$ et pour numérateur un polynôme en $y$ du degré $\mu -1.$

Or il est clair que, par la méthode de la Proposition II, cette dernière fraction peut se réduire en une fraction continue de la forme

${\frac {1}{p+qy+{\cfrac {y^{2}}{p'+q'y+{\cfrac {y^{2}}{p''+q''y+{\cfrac {y^{2}}{p'''+q'''y+\ddots +{\cfrac {y^{2}}{p^{(\mu -1)}+q^{(\mu -1)}y}}}}}}}}}}.$