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Connaissant donc les angles $a,b\,;$ $\alpha ,\beta ,$ et les coefficients $\mathrm {A,B} ,$ on aura, pour le terme général de la série proposée, l’expression

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\alpha ),$

où $m$ est la distance d’un terme quelconque au terme $772$ qu’on a pris pour $\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire, le quantième à compter depuis ce même terme.

Exemple II.

42. Je reprendrai la série de l’Exemple précédent, et je la traiterai suivant la seconde méthode du n^o 40, afin que l’on ait en même temps un exemple de l’usage de cette méthode et une confirmation de sa honté par la comparaison de ses résultats avec ceux de la première méthode ; mais je n’entrerai pas dans le détail des opérations et des calculs qu’il faut faire, parce qu’on le trouve dans les deux Tableaux ci-joints.

La première case contient les termes de la série proposée écrits deux fois les uns au-dessous des autres, pour pouvoir en prendre aisément les sommes et les différences, et en former les deux séries

${\begin{array}{lllll}+772,&-\ \ 309,&-\ \ 465,&-308,&-592,\ldots ,&\\-165,&+1181,&-1006,&-128,&+229,\ldots .\end{array}}$

Ensuite la quatrième case contient le Tableau des opérations qu’on doit faire sur la première de ces deux séries, et la deuxième case contient tous les calculs subsidiaires que ces opérations demandent.

On s’est arrêté ici, comme dans l’Exemple précédent, après la seconde division, parce que le second reste n’a que des coefficients numériques très-petits, qu’on peut par conséquent négliger sans erreur sensible.

Les résultats des opérations faites sur la première série sont donc

${\begin{alignedat}{2}p\ =&772,&q\ =&0{,}40026,\\p'=&-1{,}23746,\qquad &q'=&0{,}44043.\end{alignedat}}$