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nommant la réduction $\sigma ,$ on aura

$\psi -{\frac {\varphi }{2}}=\sigma \,;$

donc

$\psi ={\frac {\varphi }{2}}+\sigma ,$

et par conséquent

$\omega =\varphi +\alpha +\sigma =bt+\beta +\sigma \,;$

de sorte que le lieu moyen du nœud sera aussi $bt+\beta .$

Mais, si $\mathrm {B<A}$ (abstraction faite des signes), la quantité $\mathrm {\frac {B-A}{B+A}}$ sera toujours négative, par conséquent la quantité $\mathrm {\frac {A-B}{A+B}}$ sera toujours positive ainsi il n’y aura qu’à prendre l’angle $\psi$ négativement, et l’on aura l’équation

$\operatorname {tang} \psi =\mathrm {\frac {A-B}{A+B}} \operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}},$

dans laquelle $\mathrm {A>B} ,$ et qui donnera comme ci-devant

$\psi ={\frac {\varphi }{2}}-\rho ,$

si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de même signe, ou

$\psi ={\frac {\varphi }{2}}+\sigma ,$

si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes différents ; mais, en faisant $\psi$ négatif, la valeur de $\omega$ deviendra

$\omega ={\frac {\varphi }{2}}-\psi +\alpha \,;$

donc, substituant la valeur de $\psi ,$, on aura, dans le premier cas,

$\omega =\alpha +\rho ,$

et dans le second

$\omega =\alpha -\sigma \,;$

d’où l’on voit que le lieu moyen du nœud sera $\alpha ,$ et par conséquent fixe.