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La démonstration de cette construction est très-facile à déduire des expressions (30) des quantités

$s=\theta \sin \omega \quad {\text{et}}\quad u=\theta \cos \omega$

par le moyen des Théorèmes du n^o 21. Ainsi nous ne croyons pas devoir nous arrêter davantage sur cette matière.

Article VI. — Des équations spéculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites de Jupiter et de Saturne.

41. Pour appliquer la Théorie précédente aux orbites des planètes principales, il n’y aura qu’à employer les données du n^o 19. Nous supposerons donc que les planètes $\mathrm {T,T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},T_{5}} ,\ldots$ soient Jupiter, Saturne, la Terre, Vénus, Mars et Mercure, moyennant quoi les lettres sans indice se rapporteront à l’orbite de Jupiter, celles avec l’indice $1$ à l’orbite de Saturne, celles avec l’indice $2$ à l’orbite de la Terre, et ainsi de suite. Ainsi $\omega$ sera la longitude du nœud de Jupiter, $\theta$ la tangente de l’inclinaison de son orbite, $\omega _{1}$ la longitude du nœud de Saturne, $\theta _{1}$ la tangente de l’inclinaison de son orbite, et ainsi des autres.

42. Cela posé, je remarque que, parmi les quantités $(0,1),(0,2),\ldots$ de la Table du n^o 19, ces deux-ci $(0,1)$ et $(1,0)$ ont des valeurs considérablement plus grandes que les suivantes, où il y a aussi les chiffres $0$ ou $1$ avant la virgule ; d’où il s’ensuit qu’on pourra négliger toutes celles-ci, et les regarder comme nulles vis-à-vis de celles-là.

De cette manière les quatre premières équations différentielles du n^o 16 deviendront simplement

${\begin{alignedat}{2}{\frac {ds}{dt}}\,\ +(0,1)(u-u_{1})=&0,\qquad &{\frac {du}{dt}}\ \,-(0,1)(s-s_{1})=&0,\\{\frac {ds_{1}}{dt}}+(1,0)(u_{1}-u)=&0,&{\frac {du_{1}}{dt}}-(1,0)(s_{1}-s)=&0,\end{alignedat}}$

lesquelles, ne renfermant que les quatre variables $s,u,s_{1},u_{1},$ pourront être traitées à part et indépendamment de toutes les autres.